分岐(ramify);
F代数体
K/F有限拡大.
O_F=RはFの整数環
SはKにおけるRの代数閉包 つまりR係数モニックの根たる元の集合.
Rの素イデアルPをとる.
PS=Π(P_i^(e_i)):Sの素イデアルP_iの積
と表されるが,この各指数e_iのうち>1であるものが存在するとき,
PはKで分岐するという.
ガロア拡大では,各指数e_iはすべて等しく,これをeとかくなら
PS=(Π(P_i))^e
分岐する素イデアルが存在する⇔拡大K/Fは分岐する
http://en.wikipedia.org/wiki/Ramification#In_algebraic_number_theory
tame:馴ジュン / wild:暴;
上の分解
PS=Π(P_i^(e_i))
における,各指数e_iについて,
その全てがp=Char(R/P)と互いに素なら,この分岐は馴である.
そうでないなら,暴であるという.
http://en.wikipedia.org/wiki/Ramification#In_algebraic_number_theory
Dedekind discriminant theorem;
上のような分解において,
f_iをP_iのinertia degreeとすれば
馴のとき
ord_P(disc(K/F))=(e_1-1)f_1＋...＋(e_n-1)f_n
暴のとき
ord_P(disc(K/F))>(e_1-1)f_1＋...＋(e_n-1)f_n
Let A be a Dedekind domain and K be its quotient field. Let L be a fi nite separable extension of K of degree n, and B be the integral closure of A in L. Let p be anonzero prime ideal of A. Assume that the fi eld A/p is perfect.
Then we have:
p ramfi es in L ⇔ p⊇D_(B/A)
正規整数基底(NIB);
K/F有限ガロア拡大
{σ(α)|σ∈Gal(K/F)}
がO_K as O_F-moduleの自由基底となるような,
元α∈O_K
指数(exponent);
Periodic groupにおいて,各元の位数の最小公倍数.
つまり各元の指数乗が必ず1になっているような,最小の数
クンマー拡大(Kummer extension);
次のようなガロア拡大.
(1)Fは,1のn乗根n個を全部含む.←[注1]
(2)Gal(K/F)はアーベル群で指数n.
[注1]根はすべて別々でなければならない.
例えばCharK=pのとき,
X^n-1=(X-1)^n
となって1のn乗根は1しかないので、(1)を満たさない.
クンマー生成元(Kummer generator);
K/F代数体の有限拡大.α∈Kで,
K=F(α),α^n∈F
を満たしているもの
このαがO_Kに属するなら,整数クンマー生成元(integral ～)という
disc(discriminant);
判別式.
K/Fにおいて,MがO_Kに含まれるO_F-moduleなら,その判別式を
disc_{K/F}(M)やd_{K/F}(M)
で表す.
特に,MとしてO_Kをとるなら,
disc_{K/F}(O_K)=disc(K/F)
と書く.
代数体の拡大K/Fにおける相対判別式(relative discriminant)
http://en.wikipedia.org/wiki/Discriminant_of_an_algebraic_number_field#Relative_discriminant
discriminant ideal:http://urx.nu/ao2c (Def1.3)
https://en.wikipedia.org/wiki/Discriminant_of_an_algebraic_number_field
クロネッカー・ウェーバーの定理(Kronecker–Weber):円分体はQのアーベル拡大
ネーターの定理(Noether):K/FがNIBを持つ➩馴である.ー逆は必ずしも成り立たず
ヒルベルト・シュパイザーの定理(Hilbert–Speiser):K/Qは有限次アーベル拡大.
高々tameに分岐⇔NIBをもつ
http://planetmath.org/ramificationindex
http://ir.c.chuo-u.ac.jp/repository/search/binary/p/2567/s/214/
http://pjm.ppu.edu/vol_2_1/Paper%20one%20TameRamification.pdf
https://www.dpmms.cam.ac.uk/~hlj31/GM_CourseNotes101.pdf
http://www1.spms.ntu.edu.sg/~frederique/antchap3.pdf
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0942-11.pdf
http://www.math.ucsb.edu/~cindytsy/talks/existence%20of%20a%20normal%20integral%20basis%20and%20ramification.pdf
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0942-8.pdf
[Ichimura 1] http://urx.nu/9QJr
[Ichimura 2] http://urx.nu/9QJD
[Ichimura 3] http://urx.nu/9QJF
[Ilaria,Lorenzo 1] http://urx.nu/9QJG
[Ilaria,Lorenzo 6] http://urx.nu/9QJM
http://urx.nu/9QJR
[Noether Normalbasis bei Korpern ohne hohere Verzweigung] http://urx.nu/9SuG
[Speiser Gruppendeterminante und Körperdiskriminante]http://urx2.nu/ghYn
[Hilbert Die Theorie der algebraischen Zahlkörper]http://urx2.nu/gihA
[Gomez Ayala Bases normales d’entiers dans les extensions de Kummer de degré premier 1994]Theoreme2.1が主要な結果である.
http://urx.nu/9QJU
F代数体
K/F有限拡大.
O_F=RはFの整数環
SはKにおけるRの代数閉包 つまりR係数モニックの根たる元の集合.
Rの素イデアルPをとる.
PS=Π(P_i^(e_i)):Sの素イデアルP_iの積
と表されるが,この各指数e_iのうち>1であるものが存在するとき,
PはKで分岐するという.
ガロア拡大では,各指数e_iはすべて等しく,これをeとかくなら
PS=(Π(P_i))^e
分岐する素イデアルが存在する⇔拡大K/Fは分岐する
http://en.wikipedia.org/wiki/Ramification#In_algebraic_number_theory
tame:馴ジュン / wild:暴;
上の分解
PS=Π(P_i^(e_i))
における,各指数e_iについて,
その全てがp=Char(R/P)と互いに素なら,この分岐は馴である.
そうでないなら,暴であるという.
http://en.wikipedia.org/wiki/Ramification#In_algebraic_number_theory
Dedekind discriminant theorem;
上のような分解において,
f_iをP_iのinertia degreeとすれば
馴のとき
ord_P(disc(K/F))=(e_1-1)f_1＋...＋(e_n-1)f_n
暴のとき
ord_P(disc(K/F))>(e_1-1)f_1＋...＋(e_n-1)f_n
Let A be a Dedekind domain and K be its quotient field. Let L be a fi nite separable extension of K of degree n, and B be the integral closure of A in L. Let p be anonzero prime ideal of A. Assume that the fi eld A/p is perfect.
Then we have:
p ramfi es in L ⇔ p⊇D_(B/A)
正規整数基底(NIB);
K/F有限ガロア拡大
{σ(α)|σ∈Gal(K/F)}
がO_K as O_F-moduleの自由基底となるような,
元α∈O_K
指数(exponent);
Periodic groupにおいて,各元の位数の最小公倍数.
つまり各元の指数乗が必ず1になっているような,最小の数
クンマー拡大(Kummer extension);
次のようなガロア拡大.
(1)Fは,1のn乗根n個を全部含む.←[注1]
(2)Gal(K/F)はアーベル群で指数n.
[注1]根はすべて別々でなければならない.
例えばCharK=pのとき,
X^n-1=(X-1)^n
となって1のn乗根は1しかないので、(1)を満たさない.
クンマー生成元(Kummer generator);
K/F代数体の有限拡大.α∈Kで,
K=F(α),α^n∈F
を満たしているもの
このαがO_Kに属するなら,整数クンマー生成元(integral ～)という
disc(discriminant);
判別式.
K/Fにおいて,MがO_Kに含まれるO_F-moduleなら,その判別式を
disc_{K/F}(M)やd_{K/F}(M)
で表す.
特に,MとしてO_Kをとるなら,
disc_{K/F}(O_K)=disc(K/F)
と書く.
代数体の拡大K/Fにおける相対判別式(relative discriminant)
http://en.wikipedia.org/wiki/Discriminant_of_an_algebraic_number_field#Relative_discriminant
discriminant ideal:http://urx.nu/ao2c (Def1.3)
https://en.wikipedia.org/wiki/Discriminant_of_an_algebraic_number_field
クロネッカー・ウェーバーの定理(Kronecker–Weber):円分体はQのアーベル拡大
ネーターの定理(Noether):K/FがNIBを持つ➩馴である.ー逆は必ずしも成り立たず
ヒルベルト・シュパイザーの定理(Hilbert–Speiser):K/Qは有限次アーベル拡大.
高々tameに分岐⇔NIBをもつ
http://planetmath.org/ramificationindex
http://ir.c.chuo-u.ac.jp/repository/search/binary/p/2567/s/214/
http://pjm.ppu.edu/vol_2_1/Paper%20one%20TameRamification.pdf
https://www.dpmms.cam.ac.uk/~hlj31/GM_CourseNotes101.pdf
http://www1.spms.ntu.edu.sg/~frederique/antchap3.pdf
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0942-11.pdf
http://www.math.ucsb.edu/~cindytsy/talks/existence%20of%20a%20normal%20integral%20basis%20and%20ramification.pdf
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0942-8.pdf
[Ichimura 1] http://urx.nu/9QJr
[Ichimura 2] http://urx.nu/9QJD
[Ichimura 3] http://urx.nu/9QJF
[Ilaria,Lorenzo 1] http://urx.nu/9QJG
[Ilaria,Lorenzo 6] http://urx.nu/9QJM
http://urx.nu/9QJR
[Noether Normalbasis bei Korpern ohne hohere Verzweigung] http://urx.nu/9SuG
[Speiser Gruppendeterminante und Körperdiskriminante]http://urx2.nu/ghYn
[Hilbert Die Theorie der algebraischen Zahlkörper]http://urx2.nu/gihA
[Gomez Ayala Bases normales d’entiers dans les extensions de Kummer de degré premier 1994]Theoreme2.1が主要な結果である.
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